Logaritme wiskunde

Logaritme, de exponent of macht waartoe een basis moet worden verheven om een ​​bepaald getal op te leveren. Wiskundig uitgedrukt, x is de logaritme van n tot de basis b als b ^x = n, in welk geval men schrijft x = log _b n. Bijvoorbeeld 2 ³ = 8; daarom is 3 de logaritme van 8 tot grondtal 2, of 3 = log ₂ 8. Op dezelfde manier, aangezien 10 ² = 100, dan 2 = log ₁₀ 100. Logaritmen van de laatste soort (dat wil zeggen logaritmen met grondtal 10)) worden gemeenschappelijke of Briggsiaanse logaritmen genoemd en worden eenvoudigweg log n geschreven.

Uitgevonden in de 17e eeuw om berekeningen te versnellen, verminderden logaritmen de tijd die nodig is om getallen met veel cijfers te vermenigvuldigen enorm. Ze waren meer dan 300 jaar basis in numeriek werk, totdat de perfectie van mechanische rekenmachines aan het einde van de 19e eeuw en computers in de 20e eeuw ze overbodig maakten voor grootschalige berekeningen. De natuurlijke logaritme (met basis e ≅ 2.71828 en geschreven in n) blijft echter een van de nuttigste functies in de wiskunde, met toepassingen op wiskundige modellen in de hele fysische en biologische wetenschappen.

Eigenschappen van logaritmen

Logaritmen werden snel door wetenschappers overgenomen vanwege verschillende nuttige eigenschappen die lange, vervelende berekeningen vereenvoudigden. In het bijzonder konden wetenschappers het product van twee getallen m en n vinden door de logaritme van elk getal op te zoeken in een speciale tabel, de logaritmen bij elkaar op te tellen en vervolgens de tabel opnieuw te raadplegen om het getal met dat berekende logaritme te vinden (bekend als het antilogaritme). Uitgedrukt in termen van algemene logaritmen wordt deze relatie gegeven door log mn = log m + log n. 100 × 1.000 kan bijvoorbeeld worden berekend door de logaritmen van 100 (2) en 1.000 (3) op te zoeken, de logaritmen bij elkaar op te tellen (5) en vervolgens het antilogaritme (100.000) in de tabel te vinden. Evenzo worden delingsproblemen omgezet in aftrekproblemen met logaritmen: log m / n = log m - log n. Dit is niet alles; de berekening van krachten en wortels kan worden vereenvoudigd met behulp van logaritmen. Logaritmen kunnen ook worden geconverteerd tussen positieve bases (behalve dat 1 niet kan worden gebruikt als basis omdat al zijn krachten gelijk zijn aan 1), zoals weergegeven in de

tabel van logaritmische wetten.

Alleen logaritmen voor getallen tussen 0 en 10 werden typisch opgenomen in logaritmetabellen. Met de logaritme van een getal buiten dit bereik te verkrijgen, werd eerst het getal geschreven in wetenschappelijke notatie als het product van de significante cijfers en exponentiële stroom, bijvoorbeeld 358 weergeeft geschreven als 3,58 x 10 ², en 0,0046 weergeeft geschreven als 4,6 x ^10-3. Vervolgens zou de logaritme van de significante cijfers - een decimale breuk tussen 0 en 1, bekend als de mantisse - in een tabel worden gevonden. Om bijvoorbeeld de logaritme van 358 te vinden, zou men log 3.58 ≅ 0.55388 opzoeken. Daarom log 358 = log 3,58 + log 100 = 0,55388 + 2 = 2,55388. In het voorbeeld van een getal met een negatieve exponent, zoals 0.0046, zou je log 4.6 ≅ 0.66276 opzoeken. Log daarom 0.0046 = log 4.6 + log 0.001 = 0.66276 - 3 = -2.33724.