Geschiedenis van analyse
De Grieken komen continue grootheden tegen
Analyse bestaat uit die delen van de wiskunde waarin continue verandering belangrijk is. Deze omvatten de studie van beweging en de geometrie van vloeiende krommen en oppervlakken - in het bijzonder de berekening van raaklijnen, gebieden en volumes. Oude Griekse wiskundigen boekten grote vooruitgang in zowel de theorie als de praktijk van analyse. Theorie werd hun opgedrongen ongeveer 500 vce door de Pythagorische ontdekking van irrationele grootten en ongeveer 450 vce door Zeno's paradoxen van beweging.
De pythagoreeërs en irrationele getallen
Aanvankelijk geloofden de Pythagoreeërs dat alle dingen konden worden gemeten aan de hand van de afzonderlijke natuurlijke getallen (1, 2, 3,
) en hun verhoudingen (gewone breuken of de rationele getallen). Deze overtuiging werd echter geschokt door de ontdekking dat de diagonaal van een eenheidsvierkant (dat wil zeggen een vierkant waarvan de zijden een lengte hebben van 1) niet kan worden uitgedrukt als een rationeel getal. Deze ontdekking kwam tot stand door hun eigen stelling van Pythagoras, die vaststelde dat het vierkant op de hypotenusa van een rechthoekige driehoek gelijk is aan de som van de vierkanten aan de andere twee kanten - in moderne notatie, c 2 = a 2 + b 2. In een eenheidsvierkant is de diagonaal de schuine zijde van een rechthoekige driehoek, met zijden a = b = 1; daarom is de maat vierkantswortel van √2 - een irrationeel getal. Tegen hun eigen bedoelingen hadden de Pythagoreeërs daarmee aangetoond dat rationele getallen niet voldoende waren om zelfs eenvoudige geometrische objecten te meten. (Zie Sidebar: Incommensurables.) Hun reactie was het maken van een rekenkunde van lijnsegmenten, zoals te vinden in Boek II van Euclid's Elements (c. 300 vce), dat een geometrische interpretatie van rationele getallen bevatte. Voor de Grieken waren lijnsegmenten algemener dan getallen, omdat ze zowel continue als discrete grootheden bevatten.
Vierkantswortel van √2 kan inderdaad alleen via een oneindig proces aan de rationele getallen worden gerelateerd. Dit werd gerealiseerd door Euclid, die de rekenkunde van zowel rationele getallen als lijnsegmenten bestudeerde. Zijn beroemde Euclidische algoritme, toegepast op een paar natuurlijke getallen, leidt in een eindig aantal stappen tot hun grootste gemene deler. Wanneer het echter wordt toegepast op een paar lijnsegmenten met een irrationele verhouding, zoals vierkantswortel van √2 en 1, wordt het niet beëindigd. Euclid gebruikte deze non-termination eigenschap zelfs als criterium voor irrationaliteit. Irrationaliteit daagde dus het Griekse concept van getal uit door hen te dwingen om met oneindige processen om te gaan.
Zeno's paradoxen en het concept beweging
Net zoals Vierkantswortel van √2 een uitdaging was voor het concept van het aantal Grieken, waren Zeno's paradoxen een uitdaging voor hun concept van beweging. In zijn Physics (c. 350 vce) citeerde Aristoteles Zeno als volgt:
Er is geen beweging, want dat wat verplaatst wordt moet in het midden [van de cursus] aankomen voordat het aan het einde arriveert.
Zeno's argumenten zijn alleen bekend bij Aristoteles, die ze vooral citeerde om ze te weerleggen. Vermoedelijk bedoelde Zeno dat, om ergens te komen, men eerst halverwege moest gaan en daarvoor een kwart van de weg en vóór die een achtste van de weg enzovoort. Omdat dit proces van halvering van afstanden tot in het oneindige zou doorgaan (een concept dat de Grieken niet voor mogelijk zouden houden), beweerde Zeno te 'bewijzen' dat de werkelijkheid bestaat uit een onveranderlijk wezen. Toch vonden de Grieken, ondanks hun afkeer van oneindigheid, dat het concept onmisbaar was in de wiskunde van continue grootheden. Dus redeneerden ze zo oneindig mogelijk over oneindigheid, in een logisch kader dat de verhoudingsleer wordt genoemd en waarbij de methode van uitputting wordt gebruikt.
De theorie van verhoudingen is door Eudoxus rond 350 vce gemaakt en bewaard in Boek V van Euclid's Elements. Het legde een exacte relatie tussen rationele grootheden en willekeurige grootheden vast door twee grootheden als gelijk te definiëren als de rationele grootheden kleiner dan zij hetzelfde waren. Met andere woorden, twee grootheden waren alleen verschillend als er strikt een rationele magnitude tussen was. Deze definitie diende wiskundigen twee millennia lang en maakte de weg vrij voor de rekenkundige analyse in de 19e eeuw, waarin willekeurige getallen rigoureus werden gedefinieerd in termen van de rationele getallen. De theorie van verhoudingen was de eerste rigoureuze behandeling van het concept van limieten, een idee dat de kern vormt van moderne analyse. In moderne termen definieerde de theorie van Eudoxus willekeurige grootheden als limieten van rationele grootheden, en fundamentele stellingen over de som, het verschil en het product van grootheden waren gelijk aan stellingen over de som, het verschil en het product van limieten.
