Sturm-Liouville-probleem, of eigenwaardeprobleem, in de wiskunde, een bepaalde klasse van partiële differentiaalvergelijkingen (PDE's) die onderworpen zijn aan extra beperkingen, ook wel grenswaarden genoemd, op de oplossingen. Dergelijke vergelijkingen zijn gebruikelijk in zowel de klassieke fysica (bijv. Warmtegeleiding) als de kwantummechanica (bijv. Schrödinger-vergelijking) om processen te beschrijven waarbij een bepaalde externe waarde (grenswaarde) constant wordt gehouden terwijl het systeem van interesse een of andere vorm van energie doorgeeft.
Halverwege de jaren 1830 werkten de Franse wiskundigen Charles-François Sturm en Joseph Liouville onafhankelijk van elkaar aan het probleem van warmtegeleiding door een metalen staaf, waarbij ze technieken ontwikkelden voor het oplossen van een grote klasse PDE's, waarvan de eenvoudigste de vorm aannemen [p (x) y ′] ′ + [q (x) - λr (x)] y = 0 waarbij y een fysische grootheid is (of de kwantummechanische golffunctie) en λ een parameter of eigenwaarde is, die de vergelijking zo beperkt dat y voldoet aan de grenswaarden op de eindpunten van het interval waarover de variabele x reikt. Als de functies p, q en r aan geschikte voorwaarden voldoen, heeft de vergelijking een familie van oplossingen, eigenfuncties genaamd, die overeenkomen met de eigenwaardeoplossingen.
Voor het meer gecompliceerde niet-homogene geval waarin de rechterkant van de bovenstaande vergelijking een functie is, f (x), in plaats van nul, kunnen de eigenwaarden van de overeenkomstige homogene vergelijking worden vergeleken met de eigenwaarden van de oorspronkelijke vergelijking. Als deze waarden verschillen, heeft het probleem een unieke oplossing. Aan de andere kant, als een van deze eigenwaarden overeenkomt, heeft het probleem ofwel geen oplossing of een hele reeks oplossingen, afhankelijk van de eigenschappen van de functie f (x).
