Riemann zetafunctie, functie nuttig in de getaltheorie voor het onderzoeken van eigenschappen van priemgetallen. Geschreven als ζ (x), werd het oorspronkelijk gedefinieerd als de oneindige reeksζ (x) = 1 + 2 −x + 3 −x + 4 −x + ⋯. Wanneer x = 1, wordt deze reeks de harmonische reeks genoemd, die toeneemt zonder gebonden te zijn - dwz de som is oneindig. Voor waarden van x groter dan 1, convergeert de reeks naar een eindig getal als opeenvolgende termen worden toegevoegd. Als x kleiner is dan 1, is de som weer oneindig. De zetafunctie was in 1737 bekend bij de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler, maar werd voor het eerst uitgebreid bestudeerd door de Duitse wiskundige Bernhard Riemann.
In 1859 publiceerde Riemann een paper met een expliciete formule voor het aantal priemgetallen tot een vooraf toegewezen limiet - een besliste verbetering ten opzichte van de geschatte waarde gegeven door de priemgetallenstelling. De formule van Riemann was echter afhankelijk van het kennen van de waarden waarbij een gegeneraliseerde versie van de zetafunctie gelijk is aan nul. (De Riemann zetafunctie is gedefinieerd voor alle complexe getallen - getallen in de vorm x + iy, waarbij i = vierkantswortel van √ − 1 - behalve de regel x = 1.) Riemann wist dat de functie gelijk is aan nul voor alle negatieve even gehele getallen −2, −4, −6,
(zogenaamde triviale nullen), en dat het een oneindig aantal nullen heeft in de kritische strook van complexe getallen tussen de lijnen x = 0 en x = 1, en hij wist ook dat alle niet-triviale nullen symmetrisch zijn ten opzichte van de kritische x = 1 / 2. Riemann vermoedde dat alle niet-triviale nullen op de kritische lijn staan, een vermoeden dat later bekend werd als de Riemann-hypothese.
In 1900 noemde de Duitse wiskundige David Hilbert de Riemann-hypothese een van de belangrijkste vragen in de wiskunde, zoals blijkt uit de opname in zijn invloedrijke lijst van 23 onopgeloste problemen waarmee hij de 20e-eeuwse wiskundigen uitdaagde. In 1915 bewees de Engelse wiskundige Godfrey Hardy dat een oneindig aantal nullen op de kritieke lijn voorkomt, en tegen 1986 werden de eerste 1.500.000.001 niet-triviale nullen allemaal op de kritische lijn getoond. Hoewel de hypothese misschien nog steeds onjuist blijkt te zijn, hebben onderzoeken naar dit moeilijke probleem het begrip van complexe getallen verrijkt.
