Riemann-hypothese, in de getaltheorie, de hypothese van de Duitse wiskundige Bernhard Riemann over de locatie van oplossingen voor de Riemann-zetafunctie, die verbonden is met de priemgetallenstelling en belangrijke implicaties heeft voor de verdeling van priemgetallen. Riemann nam de hypothese op in een paper, "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("Over het aantal priemgetallen kleiner dan een bepaalde hoeveelheid"), gepubliceerd in de november 1859-editie van Monatsberichte der Berliner Akademie ("Maandelijks overzicht van de Berlin Academy ”).
De zetafunctie wordt gedefinieerd als de oneindige reeks ζ (s) = 1 + 2 −s + 3 −s + 4 −s + ⋯, of, in compactere notatie, , waar de sommatie (Σ) van termen voor n loopt van 1 tot oneindig door de positieve gehele getallen en s is een vast positief geheel getal groter dan 1. De zetafunctie werd voor het eerst bestudeerd door de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler in de 18e eeuw. (Om deze reden wordt het ook wel de Euler zeta-functie genoemd. Voor ζ (1) is deze serie gewoon de harmonische serie, waarvan bekend is dat ze sinds de oudheid ongebonden is toegenomen, dwz de som is oneindig.) Euler werd onmiddellijk beroemd toen hij bleek in 1735 dat ζ (2) = π 2 /6 een probleem dat de grootste wiskundigen van de tijd, zoals de familie Swiss Bernoulli (Jakob, Johann en Daniel) waren ontsnapt. Meer in het algemeen ontdekte Euler (1739) een relatie tussen de waarde van de zetafunctie voor even gehele getallen en de Bernoulli-getallen, die de coëfficiënten zijn in de Taylor-serie-uitbreiding van x / (e x - 1). (Zie ook exponentiële functie.) Nog verbazingwekkender, in 1737 ontdekte Euler een formule die betrekking heeft op de zetafunctie, waarbij een oneindige reeks termen met de positieve gehele getallen wordt opgeteld, en een oneindig product dat elk priemgetal omvat:
Riemann breidde de studie van de zetafunctie uit met de complexe getallen x + iy, waarbij i = vierkantswortel van√ − 1, behalve de lijn x = 1 in het complexe vlak. Riemann wist dat de zetafunctie gelijk is aan nul voor alle negatieve even gehele getallen −2, −4, −6,
(zogenaamde triviale nullen) en dat het een oneindig aantal nullen heeft in de kritische strook van complexe getallen die strikt tussen de regels x = 0 en x = 1 vallen. Hij wist ook dat alle niet-triviale nullen symmetrisch zijn ten opzichte van de kritieke lijn x = 1 / 2. Riemann vermoedde dat alle niet-triviale nullen op de kritische lijn staan, een vermoeden dat later bekend werd als de Riemann-hypothese.
1914 Engels wiskundige Godfrey Harold Hardy aangetoond dat een oneindig aantal oplossingen van ζ (s) = 0 bestaan op de kritieke lijn x = 1 / 2. Vervolgens werd door verschillende wiskundigen aangetoond dat een groot deel van de oplossingen op de kritische lijn moet liggen, hoewel de frequente 'bewijzen' dat alle niet-triviale oplossingen erop staan, gebrekkig zijn. Computers zijn ook gebruikt om oplossingen te testen, waarbij de eerste 10 biljoen niet-triviale oplossingen op de kritische lijn bleken te liggen.
Een bewijs van de Riemann-hypothese zou verstrekkende gevolgen hebben voor de getaltheorie en voor het gebruik van priemgetallen in cryptografie.
De Riemann-hypothese wordt lange tijd beschouwd als het grootste onopgeloste probleem in de wiskunde. Het was een van de 10 onopgeloste wiskundige problemen (23 in de gedrukte toespraak) die door de Duitse wiskundige David Hilbert tijdens het Tweede Internationale Wiskundecongres in Parijs op 8 augustus 1900 als een uitdaging voor de 20e-eeuwse wiskundigen werden voorgesteld. In 2000 Amerikaanse wiskundige Stephen Smale werkte Hilbert's idee bij met een lijst van belangrijke problemen voor de 21e eeuw; de Riemann-hypothese was nummer één. In 2000 werd het aangewezen als een millenniumprobleem, een van de zeven wiskundige problemen die door het Clay Mathematics Institute of Cambridge, Massachusetts, VS, werden geselecteerd voor een speciale prijs. De oplossing voor elk millenniumprobleem is 1 miljoen dollar waard. In 2008 noemde het US Defense Advanced Research Projects Agency (DARPA) het als een van de DARPA Mathematical Challenges, 23 wiskundige problemen waarvoor het onderzoeksvoorstellen voor financiering vroeg - 'Mathematical Challenge Nineteen: Settle the Riemann Hypothesis. De heilige graal van de getaltheorie. '
