Logica en metalogic
In zekere zin moet logica worden geïdentificeerd met het predikaat calculus van de eerste orde, de calculus waarin de variabelen beperkt zijn tot individuen van een vast domein - hoewel het ook de logica van identiteit kan bevatten, gesymboliseerd met '=', die neemt de gewone eigenschappen van identiteit als onderdeel van logica. In die zin bereikte Gottlob Frege al in 1879 een formele calculus van logica. Soms wordt logica echter zo opgevat dat het ook hogere-orde predicaat calculi omvat, die variabelen van hogere typen toelaten, zoals die variëren van predikaten (of klassen en relaties)) enzovoorts. Maar dan is het een kleine stap naar de opname van verzamelingenleer, en in feite wordt axiomatische verzamelingenleer vaak beschouwd als een onderdeel van de logica. Voor de toepassing van dit artikel is het echter beter om de discussie in de eerste zin tot logica te beperken.
Het is moeilijk om significante bevindingen in de logica te onderscheiden van die in de metalogiek, omdat alle stellingen die van belang zijn voor logici over logica gaan en daarom tot de metalogiek behoren. Als p een wiskundige stelling is - in het bijzonder een over logica - en P de conjunctie is van de wiskundige axioma's die worden gebruikt om p te bewijzen, dan kan elke p in de logica worden omgezet in een "niet-P of p" -stelling. Wiskunde wordt echter niet gedaan door expliciet alle stappen uit te voeren zoals geformaliseerd in de logica; de selectie en het intuïtieve begrip van de axioma's is belangrijk, zowel voor wiskunde als voor metamathematica. Feitelijke logische afleidingen, zoals die net voor de Eerste Wereldoorlog zijn uitgevoerd door Alfred North Whitehead en Bertrand Russell, zijn voor logici van weinig intrinsiek belang. Het lijkt daarom overbodig om de term metalogic te introduceren. In de huidige classificatie wordt metalogic echter opgevat als niet alleen met bevindingen over logische calculi, maar ook met studies van formele systemen en formele talen in het algemeen.
Een gewoon formeel systeem onderscheidt zich van een logische calculus doordat het systeem meestal een bedoelde interpretatie heeft, terwijl de logische calculus bewust de mogelijke interpretaties open laat. Zo spreekt men bijvoorbeeld van de waarheid of onwaarheid van zinnen in een formeel systeem, maar met betrekking tot een logische calculus spreekt men van validiteit (dat wil zeggen waar zijn in alle interpretaties of in alle mogelijke werelden) en van bevrediging (of een model hebben - dwz waar zijn in een bepaalde interpretatie). Vandaar dat de volledigheid van een logische calculus een heel andere betekenis heeft dan die van een formeel systeem: een logische calculus staat zoveel zinnen toe dat noch de zin, noch de ontkenning ervan een stelling is, omdat het waar is in sommige interpretaties en onjuist is in andere, en het vereist alleen dat elke geldige zin een stelling is.
