Kurt Gödel, Gödel ook gespeld als Goedel, (geboren 28 april 1906, Brünn, Oostenrijk-Hongarije [nu Brno, Tsjechië] - overleden 14 januari 1978, Princeton, NJ, VS), in Oostenrijk geboren wiskundige, logicus en filosoof die het belangrijkste wiskundige resultaat van de 20e eeuw heeft verkregen: zijn beroemde onvolledigheidsstelling, die stelt dat er binnen elk axiomatisch wiskundig systeem stellingen zijn die niet kunnen worden bewezen of weerlegd op basis van de axioma's binnen dat systeem; dus een dergelijk systeem kan niet tegelijkertijd compleet en consistent zijn. Dit bewijs maakte van Gödel een van de grootste logici sinds Aristoteles, en de gevolgen ervan worden tot op de dag van vandaag gevoeld en besproken.
grondslagen van de wiskunde: Gödel
Impliciet in Hilbert's programma was de hoop geweest dat de syntactische notie van bewijsbaarheid de semantische notie van waarheid zou bevatten. Gödel
Het vroege leven en carrière
Gödel leed als kind verschillende periodes van slechte gezondheid, na een aanval op 6-jarige leeftijd met reumatische koorts, waardoor hij bang was voor een resterend hartprobleem. Zijn levenslange bezorgdheid over zijn gezondheid heeft mogelijk bijgedragen aan zijn uiteindelijke paranoia, waaronder het obsessief schoonmaken van zijn eetgerei en het zich zorgen maken over de zuiverheid van zijn voedsel.
Als Duitssprekende Oostenrijker bevond Gödel zich plotseling in het pas gevormde land Tsjecho-Slowakije toen het Oostenrijks-Hongaarse rijk aan het einde van de Eerste Wereldoorlog in 1918 werd verbroken. Zes jaar later ging hij echter studeren in Oostenrijk, aan de Universiteit van Wenen, waar hij in 1929 promoveerde op de wiskunde. Het jaar daarop trad hij toe tot de faculteit aan de Universiteit van Wenen.
In die periode was Wenen een van de intellectuele centra van de wereld. Het was de thuisbasis van de beroemde Vienna Circle, een groep wetenschappers, wiskundigen en filosofen die de naturalistische, sterk empiristische en antimetafysische opvatting, bekend als logisch positivisme, onderschreven. Gödels proefadviseur, Hans Hahn, was een van de leiders van de Weense Kring en hij stelde zijn stagestudent voor aan de groep. De eigen filosofische opvattingen van Gödel hadden echter niet anders kunnen zijn dan die van de positivisten. Hij onderschreef het platonisme, theïsme en dualisme van lichaam en geest. Bovendien was hij ook enigszins mentaal instabiel en onderhevig aan paranoia - een probleem dat met het ouder worden verergerde. Zo gaf zijn contact met de leden van de Weense Cirkel hem het gevoel dat de 20e eeuw vijandig stond tegenover zijn ideeën.
Stellingen van Gödel
In zijn proefschrift, "Über die Vollständigkeit des Logikkalküls" ("Over de volledigheid van de logica van de logica"), gepubliceerd in een iets verkorte vorm in 1930, bewees Gödel een van de belangrijkste logische resultaten van de eeuw - inderdaad, van altijd - namelijk de volledigheidsstelling, die vaststelde dat de klassieke logica van de eerste orde, of de predikaatrekening, compleet is in die zin dat alle eerste-orde logische waarheden kunnen worden bewezen in standaard eerste-orde-proofsystemen.
Dit was echter niets vergeleken met wat Gödel in 1931 publiceerde - namelijk de onvolledigheidsstelling: "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme" ("On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems"). Grofweg stelde deze stelling het resultaat vast dat het onmogelijk is om de axiomatische methode te gebruiken om een wiskundige theorie te construeren, in welke tak van de wiskunde dan ook, die alle waarheden in die tak van de wiskunde met zich meebrengt. (In Engeland hadden Alfred North Whitehead en Bertrand Russell jarenlang aan zo'n programma gewerkt, dat ze in 1910, 1912 en 1913 in drie delen als Principia Mathematica publiceerden.) Het is bijvoorbeeld onmogelijk om een axiomatische wiskundige theorie te bedenken die zelfs alle waarheden over de natuurlijke getallen vastlegt (0, 1, 2, 3,
). Dit was een buitengewoon belangrijk negatief resultaat, want vóór 1931 probeerden veel wiskundigen precies dat te doen: axioma-systemen construeren die gebruikt konden worden om alle wiskundige waarheden te bewijzen. Verschillende bekende logici en wiskundigen (bijv. Whitehead, Russell, Gottlob Frege, David Hilbert) hebben een aanzienlijk deel van hun carrière aan dit project besteed. Helaas voor hen vernietigde de stelling van Gödel dit hele axiomatische onderzoeksprogramma.
Internationaal sterrendom en verhuizen naar de Verenigde Staten
Na de publicatie van de onvolledigheidsstelling werd Gödel een internationaal bekende intellectuele figuur. Hij reisde verschillende keren naar de Verenigde Staten en gaf veel lezingen aan de Princeton University in New Jersey, waar hij Albert Einstein ontmoette. Dit was het begin van een hechte vriendschap die zou duren tot Einsteins dood in 1955.
Het was echter ook in deze periode dat de geestelijke gezondheid van Gödel begon te verslechteren. Hij leed aan periodes van depressie en, na de moord op Moritz Schlick, een van de leiders van de Vienna Circle, door een gestoorde student, kreeg Gödel een zenuwinzinking. In de komende jaren leed hij er nog een aantal.
Nadat nazi-Duitsland Oostenrijk op 12 maart 1938 had geannexeerd, bevond Gödel zich in een nogal ongemakkelijke situatie, deels omdat hij een lange geschiedenis had van nauwe banden met verschillende Joodse leden van de Weense Cirkel (hij was inderdaad aangevallen in de straten van Wenen door jongeren die dachten dat hij joods was) en deels omdat hij plotseling het gevaar liep ingelijfd te worden bij het Duitse leger. Op 20 september 1938 trouwde Gödel met Adele Nimbursky (née Porkert), en toen de Tweede Wereldoorlog een jaar later uitbrak, vluchtte hij met zijn vrouw uit Europa en nam de trans-Siberische spoorlijn door Azië, zeilend over de Stille Oceaan, en vervolgens met een andere trein door de Verenigde Staten naar Princeton, NJ, waar hij met de hulp van Einstein een functie bij het nieuw gevormde Institute for Advanced Studies (IAS) innam. Hij bracht de rest van zijn leven door met werken en lesgeven aan de IAS, waar hij in 1976 met pensioen ging. Gödel werd in 1948 Amerikaans staatsburger. (Einstein woonde zijn hoorzitting bij omdat het gedrag van Gödel nogal onvoorspelbaar was, en Einstein was bang dat Gödel zijn eigen zaak.)
In 1940, slechts enkele maanden nadat hij in Princeton was aangekomen, publiceerde Gödel nog een klassiek wiskundig artikel, "Consistentie van het keuzeaxioma en van de gegeneraliseerde continuüm-hypothese met de axioma's van de verzamelingenleer", waaruit bleek dat het keuzeaxioma en het continuüm hypothese is consistent met de standaard axioma's (zoals de Zermelo-Fraenkel axioma's) van verzamelingenleer. Dit bracht de helft van een vermoeden van Gödel tot stand, namelijk dat de continuümhypothese niet kon worden bewezen waar of onwaar in standaardverzamelingenleer theorieën. Uit het bewijs van Gödel bleek dat in die theorieën niet kon worden bewezen dat ze vals waren. In 1963 toonde de Amerikaanse wiskundige Paul Cohen aan dat het ook in die theorieën niet waar kon zijn, wat Gödel's vermoeden bevestigde.
In 1949 leverde Gödel ook een belangrijke bijdrage aan de natuurkunde, wat aantoont dat Einsteins algemene relativiteitstheorie de mogelijkheid van tijdreizen mogelijk maakt.
