Formele logica

Semantische taferelen

Sinds de jaren tachtig is een andere techniek voor het bepalen van de geldigheid van argumenten in pc of LPC aan populariteit gewonnen, zowel vanwege het leergemak als vanwege de eenvoudige implementatie door computerprogramma's. Oorspronkelijk gesuggereerd door de Nederlandse logicus Evert W. Beth, werd het vollediger ontwikkeld en gepubliceerd door de Amerikaanse wiskundige en logicus Raymond M. Smullyan. Gesteund op de waarneming dat het onmogelijk is dat de premissen van een geldig argument waar zijn terwijl de conclusie onjuist is, probeert deze methode de premissen zodanig te interpreteren (of evalueren) dat ze allemaal tegelijkertijd tevreden zijn en de negatie van de conclusie is ook tevreden. Succes bij een dergelijke poging zou aantonen dat het argument ongeldig is, terwijl het niet vinden van een dergelijke interpretatie zou aantonen dat het geldig is.

De constructie van een semantisch tableau verloopt als volgt: druk de premissen en negatie van de conclusie van een argument in PC uit met alleen negatie (∼) en disjunctie (∨) als propositionele connectieven. Elimineer elk optreden van twee negatietekens in een reeks (bijv. ∼∼∼∼∼a wordt ∼a). Construeer nu een boomdiagram dat naar beneden vertakt, zodat elke disjunctie wordt vervangen door twee takken, een voor de linker disjunct en een voor de rechter. De oorspronkelijke disjunctie is waar als een van beide vertakkingen waar is. Verwijzing naar de wetten van De Morgan toont aan dat een ontkenning van een disjunctie waar is voor het geval de negaties van beide disjuncten waar zijn [dwz ∼ (p ∨ q) ≡ (∼p · ∼q)]. Deze semantische observatie leidt tot de regel dat de negatie van een disjunctie één tak wordt die de negatie van elk disjunct bevat:

Beschouw het volgende argument:

Schrijven:

Schrap nu de disjunctie en vorm twee takken:

Alleen als alle zinnen in ten minste één tak waar zijn, is het mogelijk dat de oorspronkelijke premisse waar is en de conclusie onwaar (equivalent voor de ontkenning van de conclusie). Door de lijn omhoog te trekken in elke tak naar de top van de boom, merkt men op dat geen waardering van a in de linkertak ertoe zal leiden dat alle zinnen in die tak de waarde true krijgen (vanwege de aanwezigheid van a en ∼a). Evenzo maakt de aanwezigheid van b en ∼b in de rechter tak het onmogelijk dat een waardering ertoe leidt dat alle zinnen van de tak de waarde waar krijgen. Dit zijn alle mogelijke branches; het is dus onmogelijk om een ​​situatie te vinden waarin de premissen waar zijn en de conclusie onjuist. Het oorspronkelijke argument is daarom geldig.

Deze techniek kan worden uitgebreid om met andere connectieven om te gaan:

Verder moeten er in LPC regels worden ingevoerd voor het maken van kwantificeerbare wffs. Het is duidelijk dat elke tak die zowel (∀x) ϕx als ∼ϕy bevat er een is waarin niet aan alle zinnen in die tak tegelijkertijd kan worden voldaan (onder de aanname van ω-consistentie; zie metalogic). Nogmaals, als niet alle vertakkingen tegelijkertijd voldoen, is het oorspronkelijke argument geldig.

Speciale systemen van LPC

LPC zoals hierboven uiteengezet, kan worden gewijzigd door het bereik van wffs op verschillende manieren te beperken of uit te breiden:

• 1. Gedeeltelijke systemen van LPC. Enkele van de belangrijkste systemen die door beperking worden geproduceerd, worden hier beschreven:

  • a. Het kan nodig zijn dat elke predikaatvariabele monadisch is, terwijl er nog steeds een oneindig aantal individuele en predikaatvariabelen is toegestaan. De atomaire wffs zijn dan gewoon die bestaande uit een predicaatvariabele gevolgd door een enkele individuele variabele. Anders blijven de vormingsregels zoals voorheen en is de definitie van geldigheid ook als voorheen, hoewel op voor de hand liggende manieren vereenvoudigd. Dit systeem staat bekend als de monadische LPC; het biedt een logica van eigenschappen, maar niet van relaties. Een belangrijk kenmerk van dit systeem is dat het beslissend is. (De introductie van zelfs maar één dyadische predicaatvariabele zou het systeem echter onbeslisbaar maken, en in feite is zelfs aangetoond dat het systeem dat slechts één enkele dyadische predicaatvariabele en helemaal geen andere predicaatvariabelen bevat, onbeslisbaar is.)

  • bEen nog eenvoudiger systeem kan worden gevormd door te eisen (1) dat elke predicaatvariabele monadisch is, (2) dat slechts één enkele individuele variabele (bijv. x) mag worden gebruikt, (3) dat elk voorkomen van deze variabele gebonden moet zijn, en (4) dat er geen kwantificator voorkomt binnen het bereik van een ander. Voorbeelden van wffs van dit systeem zijn (∀x) [ϕx ⊃ (ψx · χx)] ("Wat ϕ is, is zowel ψ als χ"); (∃x) (ϕx · ∼ψx) ("Er is iets dat ϕ is maar niet ψ"); en (∀x) (ϕx ⊃ ψx) ⊃ (∃x) (ϕx · ψx) ("Als is is ϕ, dan is iets zowel ϕ als ψ"). De notatie voor dit systeem kan worden vereenvoudigd door x overal weg te laten en ∃ϕ te schrijven voor "Something is ϕ", ∀ (ϕ ⊃ ψ) voor "Whatever is ϕ is” ", enzovoort. Hoewel dit systeem zelfs rudimentairer is dan de monadische LPC (waarvan het een fragment is), kunnen de vormen van een breed scala aan gevolgtrekkingen erin worden weergegeven. Het is ook een beslissend systeem en er kunnen elementaire besluitvormingsprocedures voor worden gegeven.

• 2. uitbreidingen van LPC. Meer uitgebreide systemen, waarin een breder scala aan proposities kan worden uitgedrukt, zijn geconstrueerd door aan LPC nieuwe symbolen van verschillende typen toe te voegen. De meest eenvoudige toevoegingen zijn:

  • a. een of meer individuele constanten (zeg a, b,

    ): deze constanten worden geïnterpreteerd als namen van specifieke individuen; formeel onderscheiden ze zich van individuele variabelen doordat ze niet binnen kwantoren kunnen voorkomen; (∀x) is bijvoorbeeld een kwantor, maar (∀a) is dat niet.

  • b. een of meer predikaatconstanten (zeg A, B,

    ), elk van een bepaalde graad, beschouwd als aanduiding van specifieke eigenschappen of relaties.

Een andere mogelijke toevoeging, die om een ​​wat uitgebreidere uitleg vraagt, bestaat uit symbolen die zijn ontworpen om voor functies te staan. Het begrip functie kan als volgt voor de huidige doeleinden voldoende worden uitgelegd. Er wordt gezegd dat er een bepaalde functie is van n argumenten (of van graad n) wanneer er een regel is die een uniek object specificeert (de waarde van de functie genoemd) wanneer alle argumenten zijn gespecificeerd. In het domein van de mens is bijvoorbeeld 'de moeder van -' een monadische functie (een functie van één argument), aangezien er voor elk mens een uniek individu is dat zijn moeder is; en in het domein van de natuurlijke getallen (dwz 0, 1, 2,

), "De som van - en -" is een functie van twee argumenten, aangezien er voor elk paar natuurlijke getallen een natuurlijk getal is dat hun som is. Een functiesymbool kan worden gezien als het vormen van een naam uit andere namen (de argumenten); dus wanneer x en y getallen benoemen, noemt "de som van x en y" ook een getal, en vergelijkbaar voor andere soorten functies en argumenten.

Om ervoor te zorgen dat functies in LPC kunnen worden uitgedrukt, kan er worden toegevoegd:

• c. een of meer functievariabelen (bijvoorbeeld f, g,

  ) of een of meer functieconstanten (zeg F, G,

  ) of beide, elk van een bepaald niveau. De eerste worden geïnterpreteerd als variërend over functies van de opgegeven graden en de laatste als aanduiding van specifieke functies van die graad.

Wanneer een of alle a-c aan LPC worden toegevoegd, moeten de formatieregels die worden vermeld in de eerste alinea van de sectie over de onderste predikaatrekening (zie hierboven De onderste predikaatrekening) worden gewijzigd om de nieuwe symbolen te kunnen opnemen in wffs. Dit kan als volgt worden gedaan: Een term wordt eerst gedefinieerd als (1) een individuele variabele of (2) een individuele constante of (3) elke uitdrukking die wordt gevormd door een functievariabele of functieconstante van graad n vooraf te laten gaan aan n termen (deze termen - de argumenten van het functiesymbool - worden meestal gescheiden door komma's en staan ​​tussen haakjes). Oprichtingsregel 1 wordt dan vervangen door:

• 1′.Een uitdrukking die bestaat uit een predikaatvariabele of predikaatconstante van graad n gevolgd door n termen is een wff.

De axiomatische basis die wordt gegeven in het gedeelte over de axiomatisatie van LPC (zie hierboven Axiomatisatie van LPC) vereist ook de volgende wijziging: in axiomatisch schema 2 mag elke term a vervangen wanneer β wordt gevormd, op voorwaarde dat er geen variabele is die vrij is in de term wordt gebonden in β. De volgende voorbeelden illustreren het gebruik van de bovengenoemde toevoegingen aan LPC: laat de waarden van de individuele variabelen de natuurlijke getallen zijn; laat de individuele constanten a en b staan ​​voor respectievelijk de nummers 2 en 3; laat een gemiddelde "is prime"; en laat F de dyadische functie "de som van" vertegenwoordigen. Vervolgens drukt AF (a, b) de stelling uit "De som van 2 en 3 is priemgetal", en (∃x) AF (x, a) drukt de stelling uit "Er bestaat een zodanig getal dat de som ervan en 2 een priemgetal is. '

De introductie van constanten gaat normaal gesproken gepaard met de toevoeging aan de axiomatische basis van speciale axioma's die deze constanten bevatten, ontworpen om principes uit te drukken die de objecten, eigenschappen, relaties of functies bevatten die door hen worden vertegenwoordigd - hoewel ze geen objecten, eigenschappen bevatten, relaties of functies in het algemeen. Er kan bijvoorbeeld voor worden gekozen om de constante A te gebruiken om de dyadische relatie weer te geven 'is groter dan' (zodat Axy betekent 'x is groter dan y', enzovoort). Deze relatie is, in tegenstelling tot vele andere, transitief; dat wil zeggen, als één object groter is dan een seconde en die tweede op zijn beurt groter is dan een derde, dan is het eerste groter dan het derde. Daarom kan het volgende speciale axioma-schema worden toegevoegd: als t ₁, t ₂ en t ₃ termen zijn, dan (bij ₁ t ₂ · bij ₂ t ₃) ⊃ bij ₁ t ₃ is een axioma. Op deze manier kunnen systemen worden geconstrueerd om de logische structuren van verschillende specifieke disciplines uit te drukken. Het gebied waar het meeste van dit soort werk is gedaan, is dat van natuurlijk rekenen.

PC en LPC worden soms gecombineerd in één systeem. Dit kan het eenvoudigst worden gedaan door propositionele variabelen toe te voegen aan de lijst van LPC-primitieven, door een formatieregel toe te voegen dat een propositionele variabele die alleen staat een wff is, en door “LPC” in axioma-schema 1 te verwijderen. als (p ∨ q) ⊃ (∀x) ϕx en (∃x) [p ⊃ (∀y) ϕxy].

• 3.LPC-met-identiteit. Het woord "is" wordt niet altijd op dezelfde manier gebruikt. In een zin als (1) "Socrates is stompe neus", noemt de uitdrukking die voorafgaat aan de "is" een individu en de uitdrukking die erop volgt, staat voor een eigenschap die aan dat individu wordt toegeschreven. Maar in een zin als (2) "Socrates is de Atheense filosoof die hemlock dronk", zijn de uitdrukkingen die voorafgaan aan en volgen op de "is" beide naam individuen, en de betekenis van de hele zin is dat het individu genoemd door de eerste is hetzelfde individu als het individu genoemd door de tweede. Dus in 2 kan "is" worden uitgebreid tot "is hetzelfde individu als", terwijl dat in 1 niet kan. Zoals gebruikt in 2, staat 'is' voor een dyadische relatie - namelijk identiteit - die de stelling beweert te houden tussen de twee individuen. Een identiteitsvoorstel mag in deze context niet worden opgevat als meer dan dit; in het bijzonder moet niet worden aangenomen dat de twee naamgevingsuitdrukkingen dezelfde betekenis hebben. Een veelbesproken voorbeeld om dit laatste punt te illustreren is: "De morgenster is de avondster". Het is onjuist dat de uitdrukkingen "de morgenster" en "de avondster" hetzelfde betekenen, maar het is waar dat het object waarnaar de eerste verwijst, hetzelfde is als dat waarnaar de laatste verwijst (de planeet Venus).

Om de vormen van identiteitsvoorstellen tot uitdrukking te kunnen brengen, wordt een dyadische predikaatconstante toegevoegd aan LPC, waarvoor de meest gebruikelijke notatie = is (geschreven tussen, in plaats van ervoor, de argumenten). De beoogde interpretatie van x = y is dat x hetzelfde individu is als y, en de handigste aflezing is "x is identiek aan y". De ontkenning ∼ (x = y) wordt gewoonlijk afgekort als x ≠ y. Aan de definitie van een eerder gegeven LPC-model (zie hierboven Geldigheid in LPC) is nu de regel toegevoegd (die op duidelijke wijze overeenkomt met de beoogde interpretatie) dat de waarde van x = y 1 moet zijn als hetzelfde lid van D is toegewezen aan zowel x als y en dat de waarde anders 0 is; validiteit kan dan worden gedefinieerd als voorheen. De volgende toevoegingen (of enkele gelijkwaardige) worden gemaakt aan de axiomatische basis voor LPC: het axioma x = x en het axioma schema dat, waar a en b individuele variabelen zijn en α en β wffs zijn die alleen daarin verschillen, op een of meer plaatsen waar α een vrij voorkomen van a heeft, β een vrij voorkomen van b, (a = b) ⊃ (α ⊃ β) is een axioma. Zo'n systeem staat bekend als een lagere predikaat-calculus-met-identiteit; het kan natuurlijk verder worden uitgebreid op de andere manieren die hierboven zijn vermeld in "Extensies van LPC", in welk geval elke term een ​​argument van = kan zijn.

Identiteit is een equivalentierelatie; dat wil zeggen, het is reflexief, symmetrisch en transitief. De reflexiviteit wordt rechtstreeks uitgedrukt in het axioma x = x, en stellingen die de symmetrie en de transitiviteit uitdrukken, kunnen gemakkelijk worden afgeleid uit de gegeven basis.

Bepaalde wffs van LPC-met-identiteit drukken stellingen uit over het aantal dingen dat een bepaalde eigenschap bezit. “Ten minste één ding is ϕ”, ​​kan natuurlijk al worden uitgedrukt door (∃x) ϕx; 'Ten minste twee verschillende (niet-identieke) dingen zijn ϕ' kunnen nu worden uitgedrukt met (∃x) (∃y) (ϕx · ϕy · x ≠ y); en de reeks kan op een voor de hand liggende manier worden voortgezet. 'Hoogstens één ding is ϕ' (dat wil zeggen: 'geen twee verschillende dingen zijn beide ϕ') kan worden uitgedrukt door de ontkenning van de laatstgenoemde wff of door het equivalent ervan, (∀x) (∀y) [(ϕx · ϕy) ⊃ x = y], en de reeks kan weer gemakkelijk worden voortgezet. Een formule voor "Precies één ding is ϕ" kan worden verkregen door de formules voor "Ten minste één ding is ϕ" en "Hoogstens één ding is ϕ" te combineren, maar een eenvoudiger wff equivalent aan deze voeg is (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)], wat betekent "Er is iets dat ϕ is, en alles wat ϕ is, is dat ding." De stelling 'Precies twee dingen zijn ϕ' kan worden weergegeven door (∃x) (∃y) {ϕx · ϕy · x ≠ y · (∀z) [ϕz ⊃ (z = x ∨ z = y)]}; dat wil zeggen: "Er zijn twee niet-identieke dingen die elk ϕ zijn, en alles wat ϕ is, is het een of het ander." Het is duidelijk dat deze reeks ook kan worden uitgebreid om een ​​formule te geven voor "Precies n dingen zijn ϕ" voor elk natuurlijk getal n. Het is handig om de wff voor "Precies één ding is ϕ" af te korten tot (∃! X) ϕx. Deze speciale kwantor wordt vaak hardop voorgelezen als "E-Shriek x".

Duidelijke beschrijvingen

Als een bepaalde eigenschap ϕ tot één en slechts één object behoort, is het handig om een ​​uitdrukking te hebben die dat object een naam geeft. Een gebruikelijke notatie voor dit doel is (ιx) ϕx, die kan worden gelezen als "het ding dat ϕ" is of korter als "het ϕ". In het algemeen, waar a een individuele variabele is en α een wff is, staat (ιa) α dan voor de enkele waarde van a die α waar maakt. Een uitdrukking van de vorm “het zo-en-zo” wordt een definitieve beschrijving genoemd; en (ιx), bekend als een beschrijvingsoperator, kan worden gezien als het vormen van een naam van een individu vanuit een propositieformulier. (ιx) is analoog aan een kwantor in die zin dat het, indien voorafgegaan door een wff α, elk vrij voorkomen van x in α bindt. Herbelettering van gebonden variabelen is ook toegestaan; in het eenvoudigste geval kunnen (ιx) ϕx en (ιy) ϕy elk eenvoudig worden gelezen als "de ϕ".

Wat formatieregels betreft, kunnen definitieve beschrijvingen in LPC worden opgenomen door uitdrukkingen van het formulier (ιa) α als termen te laten tellen; regel 1 'hierboven, in "Extensions of LPC," zal het dan toestaan ​​dat ze voorkomen in atomaire formules (inclusief identiteitsformules). "De ϕ is (dwz heeft de eigenschap) ψ" kan dan worden uitgedrukt als ψ (ιx) ϕx; "Y is (hetzelfde individu als) de ϕ" als y = (ιx) ϕx; "De ϕ is (hetzelfde individu als) de ψ" als (ιx) ϕx = (ιy) ψy; enzovoorts.

Over de juiste analyse van stellingen die definitieve beschrijvingen bevatten, bestaat veel filosofische controverse. Een algemeen aanvaard verslag - in wezen dat gepresenteerd in Principia Mathematica en bekend als Russell's beschrijvingsleer - stelt dat "het ϕ is ψ" moet worden opgevat als de betekenis dat precies één ding ϕ is en dat ding is ook ψ. In dat geval kan het worden uitgedrukt door een wff van LPC-met-identiteit die geen beschrijvingsoperatoren bevat, namelijk (1) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Analoog wordt "y is de ϕ" geanalyseerd als "y is ϕ en niets anders is ϕ" en daarom zo uit te drukken door (2) ϕy · (∀x) (ϕx ⊃ x = y). "De ϕ is de ψ" wordt geanalyseerd als "Precies één ding is ϕ, precies één ding is ψ, en wat ϕ is ψ" en daarom zo uit te drukken door (3) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)] · (∃x) [ψx · (∀y) (ψy ⊃ x = y)] · (∀x) (ϕx ⊃ ψx). ψ (ιx) ϕx, y = (ιx) ϕx en (ιx) ϕx = (ιy) ψy kunnen dan worden beschouwd als afkortingen voor respectievelijk (1), (2) en (3); en door te generaliseren naar complexere gevallen, kunnen alle wffs die beschrijvingen bevatten beschrijvingen worden beschouwd als afkortingen voor langere wffs die dat niet doen.

De analyse die leidt tot (1) als formule voor "The ϕ is ψ" leidt tot het volgende voor "The ϕ is not ψ": (4) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ∼ψx]. Het is belangrijk op te merken dat (4) niet de ontkenning is van (1); deze ontkenning is daarentegen (5) ∼ (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Het verschil in betekenis tussen (4) en (5) ligt in het feit dat (4) alleen waar is als er precies één ding is dat ϕ is en dat ding is niet ψ, maar (5) is zowel in dit geval als waar ook als niets ϕ is en als meer dan één ding is is. Het negeren van het onderscheid tussen (4) en (5) kan leiden tot ernstige verwarring van denken; in gewone spraak is het vaak onduidelijk of iemand die ontkent dat ϕ is ψ toegeeft dat precies één ding ϕ is, maar ontkent dat het ψ is, of ontkent dat precies één ding ϕ is.

De fundamentele bewering van Russell's beschrijvingsleer is dat een stelling die een definitieve beschrijving bevat niet moet worden beschouwd als een bewering over een object waarvan die beschrijving een naam is, maar eerder als een existentieel gekwantificeerde bewering dat een bepaalde (nogal complexe) eigenschap heeft een instantie. Formeel komt dit tot uiting in de regels voor het elimineren van beschrijvingen van operators die hierboven zijn beschreven.