Continuum hypothese wiskunde

Continuümhypothese, verklaring van verzamelingenleer dat de verzameling van reële getallen (het continuüm) in zekere zin zo klein mogelijk is. In 1873 bewees de Duitse wiskundige Georg Cantor dat het continuüm ontelbaar is - dat wil zeggen dat de reële getallen een grotere oneindigheid zijn dan de telgetallen - een belangrijk resultaat bij het starten van verzamelingenleer als een wiskundig onderwerp. Bovendien ontwikkelde Cantor een manier om de grootte van oneindige sets te classificeren op basis van het aantal elementen of de kardinaliteit. (Zie verzamelingenleer: kardinaliteit en transfinite getallen.) In deze termen kan de continuümhypothese als volgt worden gesteld: De kardinaliteit van het continuüm is het kleinste ontelbare kardinale getal.

verzamelingenleer: Cardinaliteit en transfinite getallen

een vermoeden dat bekend staat als de continuümhypothese.

In de notatie van Cantor kan de continuümhypothese worden verklaard door de eenvoudige vergelijking 2 ^{= ₀} =, ₁, waarbij is ₀ het kardinale nummer is van een oneindig telbare set (zoals de set natuurlijke getallen) en de kardinale getallen van grotere “ goed te bestellen sets ”zijn ℵ ₁, ℵ ₂,

, ℵ _α,

, geïndexeerd door de rangnummers. De kardinaliteit van het continuüm kan worden aangetoond als 2 ^{ℵ ₀}; dus de continuümhypothese sluit het bestaan ​​uit van een set van grootte tussen de natuurlijke getallen en het continuüm.

Een sterkere verklaring is de gegeneraliseerde continuümhypothese (GCH): 2 ^{ℵ _α} = ℵ _{α + 1} voor elk rangnummer α. De Poolse wiskundige Wacław Sierpiński bewees dat men met GCH het keuzeaxioma kan afleiden.

Net als bij het keuzeaxioma, bewees de in Oostenrijk geboren Amerikaanse wiskundige Kurt Gödel in 1939 dat, als de andere standaard Zermelo-Fraenkel-axioma's (ZF; zie de

tabel) consistent zijn, dan weerleggen ze de continuümhypothese of zelfs GCH niet. Dat wil zeggen, het resultaat van het toevoegen van GCH aan de andere axioma's blijft consistent. Vervolgens voltooide de Amerikaanse wiskundige Paul Cohen in 1963 het plaatje door opnieuw aan te tonen dat ZF consistent is, dat ZF geen bewijs levert voor de continuümhypothese.

Aangezien ZF de continuümhypothese niet bewijst of weerlegt, blijft de vraag of de continuümhypothese moet worden geaccepteerd op basis van een informeel concept van wat verzamelingen zijn. Het algemene antwoord in de wiskundige gemeenschap was negatief: de continuümhypothese is een beperkende verklaring in een context waar er geen bekende reden is om een ​​limiet op te leggen. In de verzamelingenleer wordt aan de set met vermogensset aan elke set van kardinaliteit ℵ _α de set van alle subsets ^toegewezen, die kardinaliteit 2 ^{ℵ _{α heeft}}. Er lijkt geen reden te zijn om een ​​limiet op te leggen aan de verscheidenheid aan subsets die een oneindige set zou kunnen hebben.