Bessel-functie, ook wel cilinderfunctie genoemd, een reeks wiskundige functies die rond 1817 systematisch werden afgeleid door de Duitse astronoom Friedrich Wilhelm Bessel tijdens een onderzoek naar oplossingen van een van de vergelijkingen van planetaire beweging van Kepler. Bijzondere functies van de set waren eerder geformuleerd door de Zwitserse wiskundigen Daniel Bernoulli, die de oscillaties van een aan één uiteinde opgehangen ketting bestudeerde, en Leonhard Euler, die de trillingen van een uitgerekt membraan analyseerde.
Nadat Bessel zijn bevindingen had gepubliceerd, ontdekten andere wetenschappers dat de functies verschenen in wiskundige beschrijvingen van veel fysische verschijnselen, waaronder de stroom van warmte of elektriciteit in een vaste cilinder, de voortplanting van elektromagnetische golven langs draden, de diffractie van licht, de bewegingen van vloeistoffen, en de vervormingen van elastische lichamen. Een van deze onderzoekers, Lord Rayleigh, plaatste ook de Bessel-functies in een grotere context door te laten zien dat ze ontstaan in de oplossing van Laplace's vergelijking (qv) wanneer deze laatste is geformuleerd in cilindrische (in plaats van cartesiaanse of sferische) coördinaten.
Concreet is een Bessel-functie een oplossing van de differentiaalvergelijking
die Bessel's vergelijking wordt genoemd. Voor integrale waarden van n zijn de Bessel-functies
De grafiek van J 0 (x) lijkt op die van een gedempte cosinuscurve en die van J 1 (x) lijkt op die van een gedempte sinuscurve (zie grafiek).
Bepaalde fysieke problemen leiden tot differentiaalvergelijkingen analoog aan de vergelijking van Bessel; hun oplossingen hebben de vorm van combinaties van Bessel-functies en worden Bessel-functies van de tweede of derde soort genoemd.
