János Bolyai, (geboren 15 december 1802, Kolozsvár, Hongarije [nu Cluj, Roemenië] - stierf 27 januari 1860, Marosvásárhely, Hongarije [nu Târgu Mureş, Roemenië]), Hongaarse wiskundige en een van de grondleggers van de niet-Euclidische meetkunde - een geometrie die verschilt van de euclidische geometrie in de definitie van parallelle lijnen. De ontdekking van een consistente alternatieve geometrie die zou kunnen corresponderen met de structuur van het universum, hielp wiskundigen om abstracte concepten te bestuderen, ongeacht een mogelijke verbinding met de fysieke wereld.
Op 13-jarige leeftijd beheerste Bolyai calculus en analytische mechanica onder de voogdij van zijn vader, de wiskundige Farkas Bolyai. Hij werd ook al op jonge leeftijd een ervaren violist en stond later bekend als een uitstekende zwaardvechter. Hij studeerde aan het Royal Engineering College in Wenen (1818-1822) en diende in het legertechniekkorps (1822-1833).
De preoccupatie van de oudere Bolyai met het bewijzen dat Euclides parallelle axioma werd bewezen, infecteerde zijn zoon en ondanks de waarschuwingen van zijn vader bleef János zelf zoeken naar een oplossing. In de vroege jaren 1820 concludeerde hij dat een bewijs waarschijnlijk onmogelijk was en begon hij een geometrie te ontwikkelen die niet afhankelijk was van het axioma van Euclides. In 1831 publiceerde hij "Appendix Scientiam Spatii Absolute Veram Exhibens" ("Appendix Explaining the Absolutely True Science of Space"), een compleet en consistent systeem van niet-euclidische meetkunde als bijlage bij het boek van zijn vader over geometrie, Tentamen Juventutem Studiosam in Elementa Matheseos Purae Introducendi (1832; "Een poging om leergierige jongeren kennis te laten maken met de elementen van pure wiskunde").
Een kopie van dit werk werd naar Carl Friedrich Gauss in Duitsland gestuurd, die antwoordde dat hij enkele jaren eerder de belangrijkste resultaten had ontdekt. Dit was een zware klap voor Bolyai, ook al had Gauss geen aanspraak op prioriteit omdat hij zijn bevindingen nooit had gepubliceerd. Bolyai's essay werd niet opgemerkt door andere wiskundigen. In 1848 ontdekte hij dat Nikolay Ivanovich Lobachevsky in 1829 een verslag over vrijwel dezelfde geometrie had gepubliceerd.
Hoewel Bolyai zijn wiskundige studies voortzette, werd het belang van zijn werk tijdens zijn leven niet erkend. Naast het werken aan zijn niet-euclidische meetkunde, ontwikkelde hij een geometrisch concept van complexe getallen als geordende paren reële getallen.
