Categorie theorie
Abstractie in de wiskunde
Een recente tendens in de ontwikkeling van wiskunde is het geleidelijke abstractieproces. De Noorse wiskundige Niels Henrik Abel (1802–29) bewees dat vergelijkingen van de vijfde graad in het algemeen niet door radicalen kunnen worden opgelost. De Franse wiskundige Évariste Galois (1811-1832), gedeeltelijk gemotiveerd door het werk van Abel, introduceerde bepaalde groepen permutaties om de noodzakelijke voorwaarden te bepalen om een polynoomvergelijking oplosbaar te maken. Deze concrete groepen gaven al snel aanleiding tot abstracte groepen, die axiomatisch werden beschreven. Toen realiseerde men zich dat het voor het bestuderen van groepen noodzakelijk was om naar de relatie tussen verschillende groepen te kijken - in het bijzonder naar de homomorfismen die de ene groep in de andere in kaart brengen met behoud van de groepsactiviteiten. Zo begonnen mensen te bestuderen wat nu de concrete categorie van groepen wordt genoemd, wiens objecten groepen zijn en wiens pijlen homomorfismen zijn. Het duurde niet lang voordat concrete categorieën werden vervangen door abstracte categorieën, opnieuw axiomatisch beschreven.
Het belangrijke idee van een categorie werd aan het einde van de Tweede Wereldoorlog geïntroduceerd door Samuel Eilenberg en Saunders Mac Lane. Deze moderne categorieën moeten worden onderscheiden van de categorieën van Aristoteles, die in de huidige context beter typen worden genoemd. Een categorie heeft niet alleen objecten, maar ook pijlen (ook wel morfismen, transformaties of toewijzingen genoemd) ertussen.
Veel categorieën hebben als objectverzamelingen een structuur en pijlen, die deze structuur behouden. Er zijn dus de categorieën sets (met lege structuur) en toewijzingen, groepen en groepshomomorfismen, ringen en ringhomomorfismen, vectorruimten en lineaire transformaties, topologische ruimtes en continue toewijzingen, enzovoort. Er bestaat zelfs, op een nog abstracter niveau, de categorie van (kleine) categorieën en functoren, zoals de morfismen tussen categorieën worden genoemd, die relaties tussen de objecten en pijlen behouden.
Niet alle categorieën kunnen op deze concrete manier worden bekeken. De formules van een deductief systeem kunnen bijvoorbeeld worden gezien als objecten van een categorie waarvan de pijlen f: A → B aftrekkingen zijn van B uit A. In feite is dit standpunt belangrijk in de theoretische informatica, waar aan formules wordt gedacht als soorten en aftrekkingen als operaties.
Meer formeel bestaat een categorie uit (1) een verzameling objecten A, B, C,…, (2) voor elk geordend paar objecten in de collectie een bijbehorende verzameling transformaties inclusief de identiteit I A ∶ A → A, en (3) een bijbehorende compositiewet voor elk geordend drievoud van objecten in de categorie zodat voor f ∶ A → B en g ∶ B → C de compositie gf (of g ○ f) is een transformatie van A naar C - dwz gf ∶ A → C. Daarnaast moeten de associatieve wet en de identiteiten behouden blijven (waar de samenstellingen worden gedefinieerd) -ie, h (gf) = (hg) f en 1 B f = f = f1 A.
In zekere zin hebben de objecten van een abstracte categorie geen ramen, zoals de monaden van Leibniz. Om het interieur van een object A af te leiden, hoeft men alleen naar alle pijlen van andere objecten naar A te kijken. In de categorie sets kunnen elementen van een set A bijvoorbeeld worden weergegeven door pijlen van een typische set van één element in A. Ook in de categorie kleine categorieën als 1 is de categorie met één object en geen niet-identiteit pijlen, de voorwerpen van categorie a kan worden geïdentificeerd met de functors 1 → a. Bovendien wanneer 2 is de categorie met twee doelen en een pijl-identiteit, de pijlen A kan worden geïdentificeerd met de functors 2 → A.
Isomorfe structuren
Pijl f: A → B heet een isomorfisme als er een pijl g: B → A inverse f-d.w.z. zodanig dat g ○ f = 1 A en f ○ g = 1 B. Dit wordt geschreven A ≅ B, en A en B worden isomorf genoemd, wat betekent dat ze in wezen dezelfde structuur hebben en dat er geen onderscheid tussen hoeft te worden gemaakt. Aangezien wiskundige entiteiten objecten van categorieën zijn, worden ze alleen gegeven tot isomorfisme. Hun traditionele set-theoretische constructies, afgezien van een nuttig doel om consistentie te tonen, zijn echt niet relevant.
In de gebruikelijke constructie van de ring van gehele getallen wordt een geheel getal bijvoorbeeld gedefinieerd als een equivalentieklasse van paren (m, n) natuurlijke getallen, waarbij (m, n) gelijk is aan (m ′, n ′) als en alleen als m + n ′ = m ′ + n. Het idee is dat de equivalentieklasse van (m, n) moet worden gezien als m - n. Wat belangrijk is voor een categorist, is echter dat de ring ℤ van gehele getallen een eerste object is in de categorie ringen en homomorfismen - dat wil zeggen dat er voor elke ring ℝ een uniek homomorfisme ℤ → ℝ is. Op deze manier gezien, wordt ℤ alleen gegeven aan isomorfisme. In dezelfde geest moet niet worden gezegd dat ℤ is opgenomen in het veld ℚ van rationele getallen, maar alleen dat het homomorfisme ℤ → ℚ één-op-één is. Evenzo heeft het geen zin om te spreken van het set-theoretische snijpunt van π en de vierkantswortel van√-1, als beide worden uitgedrukt als sets sets (ad infinitum).
Van bijzonder belang in stichtingen en elders zijn adjunct-functoren (F, G). Dit zijn paren van functies tussen twee categorieën ? en ℬ, die in tegengestelde richting gaan, zodat er een één-op-één overeenkomst bestaat tussen de set pijlen F (A) → B in ℬ en de set pijlen A → G (B) in ? - dat wil zeggen dat de sets isomorf zijn.
