Diophantus, bijgenaamd Diophantus van Alexandrië, (bloeide c. Ce 250), Griekse wiskundige, beroemd om zijn werk in de algebra.
getaltheorie: Diophantus
Van latere Griekse wiskundigen is vooral opmerkelijk Diophantus van Alexandrië (bloeide c. 250), auteur
Het weinige dat er bekend is over het leven van Diophantus is indirect. Uit de benaming "van Alexandrië" blijkt dat hij werkte in het belangrijkste wetenschappelijke centrum van de oude Griekse wereld; en omdat hij niet voor de 4e eeuw wordt genoemd, lijkt het waarschijnlijk dat hij in de 3e eeuw bloeide. Een rekenkundig epigram uit de Anthologia Graeca uit de late oudheid, waarvan werd beweerd dat het enkele mijlpalen van zijn leven zou herhalen (huwelijk op 33-jarige leeftijd, geboorte van zijn zoon op 38-jarige leeftijd, dood van zijn zoon vier jaar voor dat van hemzelf op 84-jarige leeftijd), is misschien goed verzonnen. Onder zijn naam zijn twee werken tot ons gekomen, beide onvolledig. De eerste is een klein fragment over veelhoekige getallen (een getal is veelhoekig als datzelfde aantal punten in de vorm van een regelmatige veelhoek kan worden gerangschikt). De tweede, een grote en uiterst invloedrijke verhandeling waarop alle oude en moderne roem van Diophantus rust, is zijn Arithmetica. Het historische belang is tweeledig: het is het eerste bekende werk dat algebra in een moderne stijl toepast en het inspireerde de wedergeboorte van de getaltheorie.
De Arithmetica begint met een inleiding gericht aan Dionysius - waarschijnlijk St. Dionysius van Alexandrië. Na wat algemeenheden over getallen, legt Diophantus zijn symboliek uit - hij gebruikt symbolen voor het onbekende (overeenkomend met onze x) en zijn krachten, positief of negatief, evenals voor sommige rekenkundige bewerkingen - de meeste van deze symbolen zijn duidelijk afkortingen van het schrift. Dit is de eerste en enige keer dat algebraïsche symboliek voor de 15e eeuw voorkwam. Na de vermenigvuldiging van de machten van het onbekende te hebben geleerd, legt Diophantus de vermenigvuldiging van positieve en negatieve termen uit en vervolgens hoe een vergelijking te herleiden tot een met alleen positieve termen (de standaardvorm die in de oudheid de voorkeur heeft). Met deze voorrondes uit de weg, gaat Diophantus verder met de problemen. In feite is de rekenkunde in wezen een verzameling problemen met oplossingen, ongeveer 260 in het nog bestaande deel.
In de inleiding staat ook dat het werk is opgedeeld in 13 boeken. Zes van deze boeken waren in de late 15e eeuw in Europa bekend, in het Grieks door Byzantijnse geleerden overgebracht en genummerd van I tot VI; Vier andere boeken werden in 1968 ontdekt in een 9e-eeuwse Arabische vertaling door Qusṭā ibn Lūqā. De Arabische tekst mist echter wiskundige symboliek en lijkt te zijn gebaseerd op een later Grieks commentaar - misschien dat van Hypatia (c. 370–415) - dat Diophantus 'uiteenzetting verwaterde. We weten nu dat de nummering van de Griekse boeken moet worden gewijzigd: Arithmetica bestaat dus uit boeken I tot III in het Grieks, boeken IV tot VII in het Arabisch en vermoedelijk boeken VIII tot X in het Grieks (de voormalige Griekse boeken IV tot VI). Verdere nummering is onwaarschijnlijk; het is vrij zeker dat de Byzantijnen alleen de zes boeken kenden die ze uitzonden en de Arabieren niet meer dan de boeken I tot en met VII in de becommentarieerde versie.
De problemen van Boek I zijn niet kenmerkend, omdat het meestal eenvoudige problemen zijn die worden gebruikt om de algebraïsche afrekening te illustreren. De onderscheidende kenmerken van de problemen van Diophantus komen voor in de latere boeken: ze zijn onbepaald (hebben meer dan één oplossing), zijn van de tweede graad of kunnen worden herleid tot de tweede graad (het hoogste vermogen op variabele termen is 2, dwz x 2), en eindigen met het bepalen van een positieve rationele waarde voor het onbekende die een gegeven algebraïsche uitdrukking een numeriek vierkant of soms een kubus zal maken. (In zijn hele boek gebruikt Diophantus "getal" om te verwijzen naar wat nu positieve, rationele getallen worden genoemd; dus een vierkant getal is het kwadraat van een positief, rationeel getal.) Boeken II en III leren ook algemene methoden. In drie problemen van Boek II wordt uitgelegd hoe het moet worden weergegeven: (1) een gegeven vierkant getal als een som van de kwadraten van twee rationele getallen; (2) elk gegeven niet-vierkant getal, dat wil zeggen de som van twee bekende vierkanten, als een som van twee andere vierkanten; en (3) elk gegeven rationeel getal als het verschil van twee vierkanten. Hoewel het eerste en het derde probleem algemeen worden vermeld, suggereert de veronderstelde kennis van één oplossing in het tweede probleem dat niet elk rationeel getal de som is van twee vierkanten. Diophantus geeft later de voorwaarde voor een geheel getal: het gegeven getal mag geen priemfactor van de vorm 4n + 3 bevatten die tot een oneven macht is verhoogd, waarbij n een niet-negatief geheel getal is. Dergelijke voorbeelden motiveerden de wedergeboorte van de getaltheorie. Hoewel Diophantus doorgaans tevreden is om één oplossing voor een probleem te vinden, vermeldt hij bij problemen soms dat er een oneindig aantal oplossingen bestaat.
In Boeken IV tot VII breidt Diophantus basismethoden uit zoals hierboven beschreven tot problemen van hogere graden die kunnen worden gereduceerd tot een binominale vergelijking van de eerste of tweede graad. In de voorwoorden van deze boeken staat dat ze bedoeld zijn om de lezer "ervaring en vaardigheid" te bieden. Hoewel deze recente ontdekking de kennis van Diophantus 'wiskunde niet vergroot, verandert het wel de beoordeling van zijn pedagogisch vermogen. Boeken VIII en IX (vermoedelijk Griekse boeken IV en V) lossen moeilijkere problemen op, zelfs als de basismethoden hetzelfde blijven. Een probleem is bijvoorbeeld het ontleden van een bepaald geheel getal in de som van twee vierkanten die willekeurig dicht bij elkaar liggen. Een soortgelijk probleem is het ontleden van een bepaald geheel getal in de som van drie vierkanten; daarin sluit Diophantus het onmogelijke geval van gehele getallen van de vorm 8n + 7 uit (nogmaals, n is een niet-negatief geheel getal). Boek X (vermoedelijk Grieks Boek VI) behandelt rechthoekige driehoeken met rationele kanten en onderhevig aan verschillende verdere voorwaarden.
De inhoud van de drie ontbrekende boeken van de Arithmetica kan worden verondersteld uit de inleiding, waar Diophantus, na te hebben gezegd dat de vermindering van een probleem "indien mogelijk" zou eindigen met een binominale vergelijking, zal toevoegen dat hij de zaak "later" zal behandelen van een trinominale vergelijking - een belofte die niet is nagekomen in het bestaande deel.
Hoewel hij beperkte algebraïsche instrumenten tot zijn beschikking had, slaagde Diophantus erin een grote verscheidenheid aan problemen op te lossen, en de rekenkunde inspireerde Arabische wiskundigen zoals al-Karajī (ca. 980-1030) om zijn methoden toe te passen. De bekendste uitbreiding van Diophantus 'werk was van Pierre de Fermat (1601–65), de grondlegger van de moderne getaltheorie. In de marge van zijn exemplaar van Arithmetica schreef Fermat verschillende opmerkingen, waarin hij nieuwe oplossingen, correcties en veralgemeningen van de methoden van Diophantus voorstelde, evenals enkele vermoedens zoals de laatste stelling van Fermat, die generaties lang wiskundigen bezighield. Onbepaalde vergelijkingen beperkt tot integrale oplossingen zijn bekend geworden, hoewel ongepast, als diophantische vergelijkingen.
