Euclidische meetkunde
Als we de Euclidische meetkunde beschouwen, zien we duidelijk dat het verwijst naar de wetten die de posities van stijve lichamen reguleren. Het blijkt de ingenieuze gedachte te zijn om alle relaties met betrekking tot lichamen en hun relatieve posities te herleiden tot het zeer eenvoudige concept "afstand" (Strecke). Afstand geeft een stijf lichaam aan waarop twee materiële punten (markeringen) zijn gespecificeerd. Het concept van de gelijkheid van afstanden (en hoeken) verwijst naar experimenten met toevalligheden; dezelfde opmerkingen zijn van toepassing op de stellingen over congruentie. Nu gebruikt de Euclidische meetkunde, in de vorm waarin het ons is overgeleverd van Euclid, de fundamentele concepten "rechte lijn" en "vlak" die niet lijken te lijken, of in ieder geval niet zo direct, met ervaringen betreffende de positie van starre lichamen. Hierover moet worden opgemerkt dat het concept van de rechte lijn kan worden herleid tot dat van de afstand.1 Bovendien waren meetkundigen minder geïnteresseerd in het naar voren brengen van de relatie tussen hun fundamentele concepten en ervaring dan in het logisch afleiden van de geometrische proposities van enkele axioma's die in het begin waren uitgesproken.
Laten we kort schetsen hoe misschien de basis van de Euclidische meetkunde kan worden verkregen uit het concept van afstand.
We vertrekken vanuit de gelijkheid van afstanden (axioma van de gelijkheid van afstanden). Stel dat van twee ongelijke afstanden de ene altijd groter is dan de andere. Voor de ongelijkheid van afstanden gelden dezelfde axioma's als voor de ongelijkheid van getallen.
Drie afstanden AB 1, BC 1, CA 1 kunnen, indien CA 1 geschikt wordt gekozen, hun merktekens BB 1, CC 1, AA 1 op elkaar leggen op een zodanige manier dat een driehoek ABC ontstaat. De afstand CA 1 heeft een bovengrens waarvoor deze constructie nog net mogelijk is. De punten A, (BB ') en C liggen dan in een “rechte lijn” (definitie). Dit leidt tot de concepten: het produceren van een afstand met een hoeveelheid gelijk aan zichzelf; het verdelen van een afstand in gelijke delen; het uitdrukken van een afstand in termen van een getal door middel van een meetlat (definitie van het ruimte-interval tussen twee punten).
Wanneer het concept van het interval tussen twee punten of de lengte van een afstand op deze manier is verkregen, hebben we alleen het volgende axioma nodig (stelling van Pythagoras) om analytisch tot de Euclidische meetkunde te komen.
Aan elk punt van de ruimte (referentie) kunnen drie getallen (coördinaten) x, y, z worden toegewezen - en omgekeerd - op een zodanige manier dat voor elk paar punten A (x 1, y 1, z 1) en B (x 2, y 2, z 2) de stelling geldt:
maatnummer AB = sqroot {(x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 }.
Alle verdere concepten en proposities van de Euclidische meetkunde kunnen op basis hiervan puur logisch worden opgebouwd, in het bijzonder ook de proposities over de rechte lijn en het vlak.
Deze opmerkingen zijn natuurlijk niet bedoeld om de strikt axiomatische constructie van de Euclidische geometrie te vervangen. We willen alleen aannemelijk aangeven hoe alle opvattingen over geometrie kunnen worden herleid tot die van afstand. We zouden evengoed de hele basis van de Euclidische meetkunde in de laatste stelling hierboven kunnen hebben belichaamd. De relatie met de ervaringsfundamenten wordt dan geschetst middels een aanvullende stelling.
De coördinaat kan en moet zodanig worden gekozen dat twee paren punten, gescheiden door gelijke intervallen, zoals berekend met behulp van de stelling van Pythagoras, kunnen samenvallen met één en dezelfde geschikt gekozen afstand (op een vaste stof).
De concepten en stellingen van de Euclidische meetkunde kunnen worden afgeleid van de stelling van Pythagoras zonder de introductie van starre lichamen; maar deze concepten en proposities zouden dan geen inhoud hebben die getest kon worden. Het zijn geen 'ware' proposities, maar alleen logisch correcte proposities van puur formele inhoud.
